Akar-akar persamaan kuadrat 3x2 – x – 4 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (3x1 – 1) dan (3x2 – 1) adalah ....

Kelas         : 10
Mapel        : Matematika
Kategori    : Bab 2 - Sistem Persamaan Linear Kuadrat
Kata kunci : persamaan kuadrat baru, UN 2017

Kode : 10.2.2 [Kelas 10 Matematika Bab 2 Sistem Persamaan Linear Kuadrat]

Soal : 

Akar-akar persamaan kuadrat 3x² – x – 4 = 0 adalah x₁ dan x₂. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (3x₁ – 1) dan (3x₂ – 1) adalah ... 
A.  x² - x - 38 = 0
B.  x² + x - 32 = 0
C.  x² + x + 12 = 0
D.  x² + x - 12 = 0
E.  x² - x - 12 = 0

Penjelasan : 

cara biasa : 

3x² – x – 4 = 0
a = 3
b = -1
c = -4

jumlah dan hasil kali dari persamaan kuadrat mula
x₁ + x₂ = -b/a = -(-1)/3 = 1/3
x₁ × x₂ = c/a = -4/3 

akar-akar baru 
α = 3x₁ – 1
β = 3x₂ – 1

jumlah dan hasil kali akar-akar dari persamaan kuadrat baru

α + β = 3x₁ – 1 + 3x₂ – 1
         = 3x₁ + 3x₂ - 2
         = 3 (x₁ + x₂) - 2
         = 3 (1/3) - 2
         = 1 - 2
         = -1

α × β = (3x₁ – 1) (3x₂ – 1)
         = 9x₁x₂ - 3x₁ - 3x₂ + 1
        = 9 (x₁ × x₂) - 3 (x₁ + x₂) + 1
        = 9 (-4/3) - 3 (1/3) + 1
       = -12 - 1 + 1
       = -12

Persamaan kuadrat baru 

x² - (α + β)x + α × β = 0
x² - (-1) x + (-12) = 0
x² + x - 12 = 0

Jadi persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (3x₁ – 1) dan (3x₂ – 1) adalah x² + x - 12 = 0    (C)

cara cepat : 

Persamaan kuadrat  3x² – x – 4 = 0

Persamaan kuadrat baru akar-akarnya (3x₁ – 1) dan (3x₂ – 1)

kita akan menggunakan cara subtitusi
misal :      x = 3x₁ – 1
            ⇔ 3x₁ = x + 1
                   x₁ = [tex] \frac{x+1}{3} [/tex]

subtitusikan dengan persamaan kuadrat
3x² – x – 4 = 0
3 ([tex] \frac{x+1}{3} [/tex])² - ([tex] \frac{x+1}{3} [/tex]) - 4 = 0   (kesemua ruas dikali 3)
9 ([tex] \frac{x+1}{3} [/tex])² - (x + 1) - 12 = 0
9 ([tex] \frac{ x^{2} +2x+1}{9} [/tex]) - x - 1 - 12 = 0
x² + 2x + 1 - x - 1 - 12 = 0
x² + x - 12 = 0

Jadi persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (3x₁ – 1) dan (3x₂ – 1) adalah x² + x - 12 = 0    (C)


Semoga bermanfaat